... una fórmula para \pi^2

Probemos el siguiente resultado:

\sum_{r\in \mathbb{Q}^+}\frac{r^2}{2^{\mathrm{num}(r)}-1} = \pi^2

La suma del lado izquierdo se hace sobre todos los racionales positivos. La función num denota el numerador de r cuando éste se expresa en su forma reducida.

Consideramos las series \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} y \sum_{k\ge 1}\frac{k^2}{2^k}=6

Multiplicándolas obtenemos

\pi^2 =\left(\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}\right)\left(\sum_{k\ge 1}\frac{k^2}{2^k}\right) = \sum_{n\ge 1, k\ge 1} \frac{k^2}{n^2 2^k}=\sum_{d\ge 1}\sum_{(k,n)=d}\frac{k^2}{n^2 2^k} = \sum_{d\ge 1}\sum_{(dk,dn)=d} \frac{(dk)^2}{(dn)^2 2^{dk}}

= \sum_{d\ge 1}\sum_{(k,n)=1} \frac{k^2}{n^2 2^{dk}}=\sum_{(k,n)=1}\frac{k^2}{n^2}\sum_{d\ge 1}\frac{1}{2^{dk}} = \sum_{(k,n)=1}\left(\frac{k}{n}\right)^2\frac{1}{2^k-1} = \sum_{r\in \mathbb{Q}^+}\frac{r^2}{2^{\mathrm{num}(r)}-1}